Đặc tính Ma trận chéo hóa được

Một kết quả cơ bản về các ma trận và biến đổi chéo hóa được được trình bày sau đây:

  • Một ma trận A {\displaystyle A} cỡ n × n {\displaystyle n\times n} trên trường F {\displaystyle F} là chéo hóa được khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian con riêng của nó bằng n {\displaystyle n} , tức là khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của F n {\displaystyle F^{n}} gồm các vectơ riêng của A {\displaystyle A} . Nếu một cơ sở như vậy đã được tìm ra, ta có thể lập ma trận P {\displaystyle P} có các vectơ cơ sở này là các cột, và ma trận P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}\!AP} sẽ là một ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A {\displaystyle A} . Ma trận P {\displaystyle P} có vai trò chuyển cơ sở và gọi là ma trận modal của A {\displaystyle A} .
  • Một biến đổi tuyến tính T : V → V {\displaystyle T:V\to V} là chéo hóa được khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian con riêng của nó bằng dim ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {dim} (V)} , tức là khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của V {\displaystyle V} gồm các vectơ riêng của T {\displaystyle T} . Với một cơ sở như vậy, T {\displaystyle T} sẽ được biểu diễn bằng một ma trận đường chéo. Các phần tử trên đường chéo của ma trận này chính là các giá trị riêng của T {\displaystyle T} .

Một đặc tính nâng cao khác: Một ma trận hay biến đổi tuyến tính chéo hóa được trên trường F {\displaystyle F} khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của nó là một tích của các nhân tử tuyến tính phân biệt trên F {\displaystyle F} . (Nói cách khác, một ma trận là chéo hóa được khi và chỉ khi tất cả các ước nguyên sơ của nó là tuyến tính.)

Điều kiện đủ (nhưng chưa cần) sau đây rất hữu dụng.

  • Một ma trận A {\displaystyle A} cỡ n × n {\displaystyle n\times n} là chéo hóa được trên trường F {\displaystyle F} nếu nó có n {\displaystyle n} giá trị riêng phân biệt trong F {\displaystyle F} , tức là nếu đa thức đặc trưng của nó có n {\displaystyle n} nghiệm phân biệt trong F {\displaystyle F} ; tuy nhiên, mệnh đề đảo có thể không đúng. Xét ma trận [ − 1 3 − 1 − 3 5 − 1 − 3 3 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}

    có các giá trị riêng 1, 2, 2 (không phân biệt hết) và là ma trận chéo hóa được với dạng đường chéo (đồng dạng với A {\displaystyle A} )

    [ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}

    và ma trận chuyển cơ sở P {\displaystyle P}

    [ 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.} Mệnh đề đảo không đúng khi A {\displaystyle A} có không gian con riêng có số chiều lớn hơn 1. Trong ví dụ này, không gian con riêng của A {\displaystyle A} tương ứng với giá trị riêng 2 có số chiều 2.
  • Một biến đổi tuyến tính T : V → V {\displaystyle T:V\to V} với n = dim ⁡ ( V ) {\displaystyle n=\operatorname {dim} (V)} chéo hóa được nếu nó có n {\displaystyle n} giá trị riêng phân biệt, tức là nếu đa thức đặc trưng của nó có n {\displaystyle n} nghiệm phân biệt trong F {\displaystyle F} .

Cho A {\displaystyle A} là một ma trận trên F {\displaystyle F} . Nếu A {\displaystyle A} chéo hóa được thì các lũy thừa bậc bất kỳ của nó cũng vậy.

Nhiều kết quả cho các ma trận chéo hóa được chỉ đúng trên một trường đại số đóng (ví dụ như trường số phức). Trong trường hợp này, tập các ma trận chéo hóa được là trù mật trong không gian các ma trận, nghĩa là mỗi ma trận khiếm khuyết có thể biến thành ma trận chéo hóa được do một nhiễu loạn nhỏ; và định lý dạng chuẩn tắc Jordan phát biểu rằng mỗi ma trận là tổng duy nhất của một ma trận chéo hóa được và một ma trận lũy linh. Trên một trường đại số đóng, các ma trận chéo hóa được tương đương với các ma trận nửa đơn.[1]